已知数列an满足1/2<a1<1,且an+1=1-1/4an,(n∈N*)求证an>1/2

可以用数学归纳法证明：

a1>1/2

假设an满足an>1/2 其中n≥1

则
a(n+1)-1/2
=1-1/(4an)-1/2
=(2an-1)/(4an)

由于an>1/2，因此2an-1>0 4an>0

因此：a(n+1)-1/2>0

a(n+1)>1/2不等式同样成立。

因此an>1/2

a(n+1)=1-an/4
a(n+1)+x=1-an/4+x=-1/4(an-4-4x)
令x=-4-4x,解得:x=-4/5
a(n+1)-4/5=-1/4(an-4/5)
[a(n+1)-4/5]/(an-4/5)=-1/4
数列{an-4/5}是公比为-1/4,首项为a1-4/5的等比数列
an-4/5=(a1-4/5)[1-(-1/4)^n]*4/5
数列{an}的通项公式为:
an=(a1-4/5)[1-(-1/4)^n]*4/5+4/5
=4/5{(a1-4/5)[1-(-1/4)^n]+1}
=4/5[1-(-1/4)^n]a1+9/25+(16/25)(-1/4)^n

4/5[1-(-1/4)^n]a1>3a1/4>3/8

当n为偶数时,9/25+(16/25)(-1/4)^n>9/25
当n为奇数时,(16/25)(-1/4)^n>=-4/25,
9/25+(16/25)(-1/4)^n>=1/5
所以不论n为何正整数,都有
an=4/5[1-(-1/4)^n]a1+9/25+(16/25)(-1/4)^n>1/2