动直线y+2=k(x-5)交抛物线y^2=4x于M,N两点,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 22:05:22
动直线y+2=k(x-5)交抛物线y^2=4x于M,N两点,
动直线y+2=k(x-5)交抛物线y^2=4x于M,N两点,问抛物线上是否存在定点P,使得向量MP×向量NP=0

从道理上讲,当MP⊥NP时,向量MP×向量NP=0
如果点P是定点的话,它就是以MN为直径的圆与抛物线的其它交点.
1:动直线通过定点(5,-2)

2:当k=1时,直线y=x-7,与抛物线y^2=4x的交点:x^2-18x+49=0
x1=9+4√2,y1=2+4√2
x2=9-4√2,y2=2-4√2
M(9+4√2,2+4√2)
N(9-4√2,2-4√2)
MN=16
以MN为直径的圆1的解析式为(x-9)^2+(y-2)^2=64

3:当k=-1时,直线y=-x+3,与抛物线y^2=4x的交点:x^2-10x+9=0
x1=1,y1=2
x2=9,y2=-6
M(1,2)
N(9,-6)
MN=8√2
以MN为直径的圆2的解析式为(x-5)^2+(y+2)^2=32

圆1与圆2的交点:就是M(1,2)和N(9,-6),都在抛物线上.

4:如果存在定点P,那么它不是与M重合,就是与N重合.

5:用另外一条直线验证:
k=2,直线y+2=2x-10.....y=2x-12与抛物线y^2=4x的交点:x^2-13x+36=0
M(4,-4)
N(9,6)
MN^2=125
设点P(1,2),则MP^2=45,NP^2=80
MP^2+NP^2=MN^2
MPN为直角三角形,MP⊥NP,向量MP×向量NP=0

另一点不用验证了,不是

答:存在定点P(1,2),使得向量MP×向量NP=0