什么是病态函数呢

病态函数就是维尔斯特拉斯函数,比如Dirichlet函数，当x取有理数时，f(x)=a,当x取无理数时，f(x)=b,(a不等于b). 而一般所谓的病态函数，往往指处处连续但处处不可导的函数，如Weierstrass函数，它是由一个无穷级数定义的，可以直观地想象它，就是一条连续的锯齿状折线，但锯齿的大小无限地小。

病态函数就是一类处处连续但处处不可导的函数，这是魏尔斯特拉斯的贡献，这些函数导致了第二次数学危机！
楼下这位兄弟的说法别具一格，有自己的想法，而且对我的说法提出了一些修正，佩服！但是我要说的是你的理解是有偏颇的，你所说的函数不是病态函数，比如Logistic方程在参数取一些特殊的值时就会导致：初始条件的微小差别，却造成结果的天壤之别！这种情况称为“蝴蝶效应”，这是非线性科学研究的问题，从来没有科学家把Logistic方程称为病态函数！它是确定性的方程！ 感谢楼主提出这么好的问题，感谢下楼这位兄弟的修正！
我说魏尔斯特拉斯发现的函数导致了第二次数学危机确实不对，但第二次数学危机的的解决与魏尔斯特拉斯本人和这些函数却是有很大关系的！下面就是数学史上令人震撼的三次数学危机:无理数的发现；因微积分的基础问题所导致的一系列悖论，如“贝克莱悖论”；因集合论导致的“罗素悖论”！

什么是病态函数,我与上面几位理解不一样,在数学上经常提到病态方程,病态问题,所谓病态方程(病态问题)是当初始数据有了很小的扰动(误差),解的变化很大,完全失真,这种方程称为病态方程(病态问题),同样对一个函数,当自变元有很小改变,而函数值发生巨大变化,这种函数才称为病态函数,由于计算机的普及,病态函数,病态方程引起人们的足够的重视,计算机的字长有限给计算带来的误差不可避免,如果不考虑病态问题,计算出的解可能没有任何实际意义,举一个十分简单例子来说明病态函数,如2次函数f(x)=x^2+x-111442,x=1000/3,在计算机上去解,此时x=1000/3舍入为有限小数,假设在字长n=4位的计算机上做得到的答案是f(333.3)=-19.81,n=5,得到的答案是f(333.33)=0.2187,而精确解f(1000/3)=22/9=2.4....差之甚远.这种函数才称为病态函数.
如果按上面几位的理解,所有非初等函数也应称为病态