已知ABCD是矩形,AB=aBC=b，E是CD上一动点

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 05:09:49
将三角形CBE沿BE折起得直二面角C1--BE--A，求A、C1两点间距离的最小值．希望给出解题过程

设角EBC=α
作CF垂直BE于F,作FG垂直BC于G,连接C1F
则:因二面角C1-BE-A是直二面角,C1F垂直BE
所以:C1F垂直平面ABCD,C1F垂直AF

CF=BC*sinα=b*sinα
FG=CF*cosα=b*sinα*cosα
BG=BC-CG=b-CF*sinα=b(1-(sinα)^2)=b*(cosα)^2
作FH垂直AB于H
则:FH=BG=b*(cosα)^2
AH=AB-HB=a-FG=a-b*sinα*cosα

(AC1)^2=AF^2+(C1F)^2=AH^2+FH^2+CF^2=(a-b*sinα*cosα)^2+(b*(cosα)^2)^2+(b*sinα)^2
=a^2+b^2*(sinα)^2*(cosα)^2-2ab*sinα*cosα+b^2*(cosα)^4+b^2*(sinα)^2
=a^2+b^2*(cosα)^2*((sinα)^2+(cosα)^2)-ab*sin2α+b^2*(sinα)^2
=a^2+b^2*((sinα)^2+(cosα)^2)-ab*sin2α
=a^2+b^2-ab*sin2α
当sin2α=1,即2α=π/2, α=π/4时,AC1为最小值
最小值=(a^2+b^2-ab)^(1/2)