UC知道有关高中抽象函数问题～
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 13:12:58
已知函数y=f(x)的定义域在实数集上，切对任意x,y属于R均有f(x+y)=f(x)+f(y)，又对任意的x>0,都有f(x)<0,f(3)=-3,
判断函数y=f(x)的奇偶性，
证明函数y=f(x)在R上为单调减函数，试求函数y=f(x)在[m,n]（m,n属于Z，mn<0)上的值域
麻烦提供一下过程！谢谢！
判断函数y=f(x)的奇偶性，
证明函数y=f(x)在R上为单调减函数，试求函数y=f(x)在[m,n]（m,n属于Z，mn<0)上的值域
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解：1.函数为奇函数，有条件可知f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0,
所以，f(-x+x)=f(-x)+f(x)=0,
f(-x)=-f(x).
2.任意取x<y,有f(y)-f(x)=f(y)+f(-x)=f(y-x)，（y-x>0)
又对任意的x>0,都有f(x)<0,
所以，f(y)-f(x)=f(y-x)<0,即f(y)<f(x).
函数为减函数。
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-3,
所以，f(1)=-1.
y=f(x)在[m,n]（m,n属于Z，mn<0)上的值域为
最小值为f(n)=nf(1)=-n,
最大值为f(m)=-mf(-1)=mf(1)=-m
这个函数分明就是f(x)=-x吗！