抽象函数问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 02:45:58
已知函数f(x)定义在R上切对一切实数x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).且f(0)≠0
(1)求证:f(0)=1,且f(x)是偶函数.
(2)若存在常数c,使f(c/2)=0,求证:对于任意x∈R,有f(x+c)=-f(x)成立.

请回答的详细点~~万分感谢

(1)因为f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
f(0+0)+f(0-0)=2[f(0)]^2
2f(0)=2[f(0)]^2
f(0)=[f(0)]^2
所以f(0)=0或f(0)=1
因为f(0)不等于0
所以f(0)=1

f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x)
f(x)+f(-x)=2f(x)
f(x)=f(-x)
所以f(x)是偶函数

(2)f(x+c)=f(x+c/2+c/2)
f(x+c/2+c/2)+f(x+c/2-c/2)=2f(x+c/2)f(c/2)
f(x+c/2+c/2)+f(x)=2f(x+c/2)f(c/2)
因为f(c/2)=0
所以f(x+c/2+c/2)+f(x)=0
f(x+c/2+c/2)=-f(x)
所以f(x+c)=-f(x)