一个关于实数集完备性的问题

S是你那个数列的集。
反证假设S中没有聚点。那么对任意的x属于S,都存在一个ex, s.t. x的ex临域内只有x一个点。于是现在找到了一个无限开覆盖：x的ex临域，对任意x。所以，存在一个有限覆盖。假设其为x1,x2,....xn.
注意：每个覆盖内仅有1个S中的点。这一堆覆盖也才至多有n个，与S是无穷集矛盾。于是证明了。