一道数学竞赛题(初二)

平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则连接:1.在同一组的任意两点间都没有线段连接;2.不在同一组的任意两点间一定有线段连接.
(1)若平面上恰好有九个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?
(2)若平面上恰好有九个点,且点数分成二,三,四组,那么平面上有多少条线段?
(3)若平面上共有192条线段,那么平面上至少有几个点?

要过程!!!!!!

（1）设分成的三组为A组、B组、C组，九个点平均分成三组，那么A组、B组、C组内都含有三个点，组与组的组合共有三种:A与B,B与C,C与A。每对组合都可以连成3*3=9条线段，所以此时平面上共有3*9=27条线段。（A与B、B与A这种交换顺序的组合对所连成的线段每有任何不同）
（2）假设A组、B组、C组的点数分别是2、3、4（只是为了陈述的方便，其实至于哪个组对应什么点数对答案没有任何影响）。那么A与B、B与C、C与A的组合分别可以连成的线段数为2*3、3*4、4*2，所以此时平面上有2*3+3*4+4*2=6+12+8=26条线段。
（3）平面上至少有24个点。
下面是我对这个问题的证明：
一、为了更简易的理解这个问题，首先我们来证明一个简单的命题：将上面的问题中的点数改成8个点，分成的组数改成两组，证明只有当两组的点数相等时，连成的线段数最多。
设分成的这两组的点数为a、b，那么a+b=8,由这两组的点连成的线段条数为a*b(简称ab),因为(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0
即a^2+b^2≥2ab(a^2 表示a的平方）
并且只有当a-b=0即a=b时,上面的不等式中的等号才成立。
因为a^2+b^2≥2ab，所以ab≤（a^2+b^2）/2
所以ab的最大值为（a^2+b^2）/2
并且只有当a=b时, ab达到这个最大值（a^2+b^2）/2
也就是在这个问题中要只有当a=b=4时,连成的线段条数ab有最大值（4^2+4^2）/2=16(或者就是4*4=16)。
二、下面就来证明本题的结论.
首先我们来证明这样一个命题：当a=b=c时，ab+bc+ca达到最大值a^2+b^2+c^2
因为a^2+b^2≥2ab①
同理b^2+c^2≥2bc②
c^2+a^2≥2ca③
①+②+③得到a^2+b^2 +b^2+c^2+ c^2+a^2≥2ab+2bc+2ca，并且要此不等式的等号成立必须在①②③的等号全部成立，而①②③的等号全部成立就必须a=b，b=c，c=a。
即2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ca