在△ABC中，M、N、D分别为AB、AC、BC上的点，满足AM=AN，BD=DC，且∠BDM=∠CDN，求证：AB=AC。

设NC<MB
则: AC=AN+NC<AM+MB=AB,即AC<AB
所以: ∠B<∠C
而:∠BDM=∠CDN
所以: ∠BMD=180度-∠B-∠BDM=180度-∠B-∠CDN＞180度-∠C-∠CDN=∠CND
即: ∠BMD＞∠CND, 所以:sin∠BMD＞sin∠CND
在三角形NDC中,由余玄定理,得:NC/sin∠CDN=DC/sin∠CND
在三角形BMD中,由余玄定理,得:MB/sin∠BDM=BD/sin∠BMD
所以: NC/sin∠CDN=DC/sin∠CND＜BD/sin∠BMD=BM/sin∠BDM
即: NC/sin∠CDN＜BM/sin∠BDM
NC＜BM
这与假设条件矛盾,所以NC<BM不成立
同理可证明:NC>BM不成立
于是:NC=BM
所以:AB=AM+BM=AN+NC=AC

不知