初中奥赛数学题，高手进~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 11:23:32
有6个互不相同的正整数a1<a2<…<a6，任取3个数记为Ai.Aj.Ak,其中i<j<k。f(i.j.k)=1/Ai+1/Aj+1/Ak，证：一定存在3个不同的数组（i,j,k）,1<或=i<j<k<或=6，3个f两两之差的绝对值<0.5

由已知 正整数A1,A2...,A6且A1<A2<...<A6 可得2≤A2<A3
取3组数A2 A5 A6，A3 A5 A6，A4 A5 A6
f=(i,j,k)=1/Ai+2/Aj+3/Ak 分别记为f1 f2 f3 ，则
f1-f2=1/A2-1/A3 <1/A2≤1/2
f1-f3=1/A2-1/A4<1/A2≤1/2
f2-f3=1/A3-1/A4<1/A3<1/2
加上绝对值亦成立
故命题得证

对于任意的a1<a2<…<a6,3个数组只要都有2个共同元a1,a2,剩下一个两两不同便是3个不同的数组.显然正整数越小,倒数越大,要让3个数组的f差值最大也只能一个取最小的,一个取最大的,只要第一个数组取a1,a2,a3,那么其他2组(都含有a1,a2),无论取那个元作为最后一个,与a3的差不会大于1/2,因为事实上a3最小为3,而且还是在a1=1,a2=2的情况下.3个f的差相当于a3与其它数组第三个数的差,但是a3自己最大仅为1/3,其他的元必然小于1/3,大于0,所以两两之差的绝对值不可能大于等于0.5.同理,第二第三组数组的第三个元最大为1/4,且不可能2个同时为1/4,所以差的绝对值不可能大于等于1/2.
综上,三组只需这么取
a1,a2,a3
a1,a2,a4
a1,a2,a5