高二数学 立体几何(总)

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/13 07:56:33
在百度提问里看到这样一个问题
求的半径为R的球的内接正四棱锥的体积的最大值

为什么内接正四棱锥还会有体积的最大值? 不是说正四棱锥的外接圆心就在底面正方形的中心嘛?
补充:最大值为(64R^3)/81

内接正四棱锥有很多的,正四棱锥底边是正方形,四棱相等就可以了,底边的正方形有很多的啊,底边的正方形过球心时候底边的正方形的面积最大,但是它对应的高不是最大的,所以还是有最大值的啊。
设球心到正四棱锥底面距离是X,有0<X<R,由题意有正四棱锥的高H=R+X
此时对应的正四棱锥底边是正方形边长为L,
则正方形的面积S=L^2
正方形对角线一半长度是(√2/2)L
则由勾股定理可以列一个方程式:
X^2+[(√2/2)L]^2=R^2 (1)式(R是求半径)
得到L^2=4*(R^2-X^2)
正四棱锥的体积V=(1/3)*SH
==(1/3)*L^2*(R+X)
===(1/3)*4*(R^2-X^2)*(R+X)
=(2/3)*[(R+X)(R+X)(2R-2X)] 0<X<R
利用基本不等式abc<=[(a+b+c)/3]^3 得到
V<=(2/3)*{[R+X)+(R+X)+(2R-2X)]/3}^3
=(64R^3)/81
当R+X=2R-2X 时候取等号
既X=0时取最大值
X=0也是说正四棱锥的外接圆心就在底面正方形的中心