高二数学 立体几何（总）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 23:03:50
在百度提问里看到这样一个问题
求的半径为R的球的内接正四棱锥的体积的最大值

为什么内接正四棱锥还会有体积的最大值？ 不是说正四棱锥的外接圆心就在底面正方形的中心嘛？
补充：最大值为(64R^3)/81

内接正四棱锥有很多的，正四棱锥底边是正方形，四棱相等就可以了，底边的正方形有很多的啊，底边的正方形过球心时候底边的正方形的面积最大，但是它对应的高不是最大的，所以还是有最大值的啊。
设球心到正四棱锥底面距离是X,有0<X<R，由题意有正四棱锥的高H=R+X
此时对应的正四棱锥底边是正方形边长为L，
则正方形的面积S=L^2
正方形对角线一半长度是（√2/2）L
则由勾股定理可以列一个方程式：
X^2+[（√2/2）L]^2=R^2 （1）式(R是求半径）
得到L^2=4*（R^2-X^2）
正四棱锥的体积V=（1/3）*SH
==（1/3）*L^2*（R+X）
===（1/3）*4*（R^2-X^2)*（R+X）
=(2/3)*[（R+X）(R+X)(2R-2X)] 0<X<R
利用基本不等式abc<=[(a+b+c)/3]^3 得到
V<=(2/3)*{[R+X）+(R+X)+(2R-2X)]/3}^3
=(64R^3)/81
当R+X=2R-2X 时候取等号
既X=0时取最大值
X=0也是说正四棱锥的外接圆心就在底面正方形的中心