一道高一数学题（急）！！！高手帮帮忙，满意有悬赏

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 22:47:07
在数列{An}中,已知A1=1,An=2Sn^2/{(2Sn)-1}，(n≥2)，求Sn

注：要有详细过程

An=2Sn^2/(2Sn-1),Sn=S(n-1)+An代入上式得
An=2(S(n-1)+An)^2/(2S(n-1)+An)-1),
2(S(n-1))^2+An(2S(n-1)+1)=0,
An=-2(S(n-1))^2/(2S(n-1)+1),又An=2Sn^2/(2Sn-1),故
-(S(n-1))^2/(2S(n-1)+1)=Sn^2/(2Sn-1),
(Sn-S(n-1))[SnS(n-1)+Sn+S(n-1)]=0
SnS(n-1)+Sn+S(n-1)=0
Sn/(Sn+1)=-S(n-1)/(S(n-1)+1)
S(n-1)/(S(n-1)+1)=-S(n-2)/(S(n-2)+1)
S(n-2)/(S(n-2)+1)=-S(n-3)/(S(n-3)+1)
...
S2/(S2+1)=-S1/(S1+1)
将上面所有式子相乘得
Sn/(Sn+1)=(-1)^(n-1)S1/(S1+1)=(-1)^(n-1)/2
Sn=((-1)^(n-1)/2)/(1-(-1)^(n-1)/2)=((-1)^(n-1))/(2-(-1)^(n-1))
S(n-1)=((-1)^(n-2))/(2-(-1)^(n-2))
上面两式相减得
An=Sn-S(n-1)=((-1)^(n-1))/(2-(-1)^(n-1))-((-1)^(n-2))/(2-(-1)^(n-2))
=(4/3))/((-1)^(n-1))
即An=(4/3))/((-1)^(n-1)).