UC知道一道周期函数（牛角尖）问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 02:21:41
如果 f(x) 、 g(x) 为两定义域为实数的连续的非常数周期函数，且 f(x) 的最小正周期为 1 ， g(x) 的最小正周期为 √2 ； 那么 F(x)=f(x)+g(x) 、 G(x)=f(x)*g(x) 是不是一定都是非周期函数？ 为什么？
补充①，感谢xtimz和ThyFhw两位热心友友的及时回复。正面证明的困难在于，任何 正的不是√2乘以有理数形式的无理数都不是F(x)（G(x)）的周期。比如满足F(x)不是周期的f(x)和g(x)在各自的每一个周期里，必须都具有无穷多个最大值点和无穷多个最小值点，所以反例如果存在决不是简单或常见的。 补充 ② 感谢“紫色智天使”和“心天之心”的热心回复。|G(X)| 是周期函数是 G(X) 是周期函数的必要非充分条件，不过当 f(x) 和g(x) 正定或负定就可以转化，这样看来F(X) 比G(X) 来的基本 ，单个有无穷最大最小值点的不难找到，要使F(X)是周期函数，就比较悬了。 “心天之心”的认为“ThyFhw”的“证法”是正确的判断是不对的。
补充①，感谢xtimz和ThyFhw两位热心友友的及时回复。正面证明的困难在于，任何 正的不是√2乘以有理数形式的无理数都不是F(x)（G(x)）的周期。比如满足F(x)不是周期的f(x)和g(x)在各自的每一个周期里，必须都具有无穷多个最大值点和无穷多个最小值点，所以反例如果存在决不是简单或常见的。 补充 ② 感谢“紫色智天使”和“心天之心”的热心回复。|G(X)| 是周期函数是 G(X) 是周期函数的必要非充分条件，不过当 f(x) 和g(x) 正定或负定就可以转化，这样看来F(X) 比G(X) 来的基本 ，单个有无穷最大最小值点的不难找到，要使F(X)是周期函数，就比较悬了。 “心天之心”的认为“ThyFhw”的“证法”是正确的判断是不对的。
答案是肯定的，F和G都是非周期函数。严格的证明比较长，点图片看详情。顺便说一句，把根号2换成任何无理数，结论不变。只要把下面证明中的“论断”部分换成用抽屉原理的一般证明就行了。
因为周期都是成整数倍地呈现在函数中的;
显然,1的整数倍仍是整数;
也很显然,没有任何一个整数(除了0)是√2的整数倍.
所以没有任何非零的数是1和√2的公倍数.（周期为0没有意义）
所以它们之间的复合运算
F(x)=f(x)+g(x)、 G(x)=f(x)*g(x) 一定不是周期函数.
xtimz的补充想得很全面;只不过这两个构造的函数是不连续的.
两个连续的函数,如果他们的周期长度比值不是有理数,那么在取一个函数f(x)的不同周期的同一位置上时,在另一函数g(x)上一定不是不同周期的同一位置.
因为,从微观上说,在f(x)的不同周期的同一位置上所取的邻域,在g(x)上是一定不同的.
首先 F(