He longed to be back home

to be back home 不定式短语做long(渴望）的宾语
long 是动词
如 He wants to be back
不定式to be back做want的宾语

to do是不定式表目的
因为back是介词,所以要加be动词.

词组long to do 渴望做某事
be back 回

不是