设函数f(x)在(-∞,+∞)上可导,若实数a，使f'(x)+af(x)<0.

若a=0由f(x)<0单调知成立，下面对a<0证明，(a>0)同理
采用反证法：
不妨设它有两个实根x1,x2,则有f'(x1)<0,f'(x2)<0;有f(x)的连续性知存在一个y1>x1使得f(y1)<0;存在y2<x2使得f(y2)>0，进而由介值定理知存在y1<x3<y2使得f(x3)=0;于是同样我们可以证得x1和x3之间又存在另外的根，这样就可以证明了它存在着一个任意小的区间内可以有无穷多个根，这跟函数可导是矛盾得，因为可导的话我们可以导出它在局部内是单调的不可能出现震荡的情况。

用反证法。
构造函数g(x)=e^(ax)*f(x) (-∞<x<+∞)
它的导数g'(x)=e(ax)[f'(x)+af(x)]
由条件g'(x)<0 ( -∞<x<+∞)
若f(x)=0的实根不止一个，设其中两个是x1,x2.(x1<x2)
那么有g(x1)=g(x2)=0,由罗尔定理知道存在ξ∈(x1,x2),使得g'(ξ)=0,得到矛盾。
因此方程f(X)=0最多只有一个实根