双曲线 急！~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/08 01:25:22
双曲线C：3x^2-y^2=3 与 y=ax-1相交与PQ
问是否有a ,使以PQ为直径的圆经过原点O
若存在，过程

如果PQ为直径的圆经过原点O，则OP⊥OQ于O点。

设P(X1, Y1), P(X2, Y2):
Kop ·KoQ = -1 = (Y1/X1)(Y2/X2)

∴ Y1Y2 + X1X2 = (aX1-1)(aX2-1) + X1X2 = 0

∴ (a^2 + 1)X1X2 - a(X1+X2) + 1 = 0 ...(1)

将直线 y = ax - 1 代入双曲线，整理得：
(3-a^2)X^2 + 2aX - 4 = 0
∴ X1X2 = -4/(3-a^2) ........(2)
X1+X2 = -2a/(3-a^2).......(3)

将（2）（3）代入（1）：

3a^2 + 1 = 0, 方程无解。

所以不存在这样的a.

注：在（2）（3）中，a^2 ≠ 3, 否则直线与双曲线的渐进线平行，与双曲线仅有一个交点。