求方程1/x+1/y=1/7的正整数解

1/x+1/y=1/7
x=1/(1/7-1/y)=7y/(y-7)

y-7能被7整除，即y除以7大于等于1，或y能被y-7整除，所以可以设

y=7n,或y=n(y-7)

(1)y=7n代入x=7y/(y-7)=7*7n/(7n-7)=7n/(n-1)

n=8，或n=2，y=56或14

(2)y=n(y-7), (n-1)y=7n, y=7n/(n-1)

因为n与n-1互质，所以只有n=2时n可以被n-1整除，另外7=n-1，即n=8时也符合要求
所以n=2时，y=14，n=8时，y=8

所以正整数解有3个：

y=8,14或56，
x=56，14，或8

答：x=56,y=8
或x=14,y=14
或x=8，y=56

把原方程化为
xy=7x+7y
则（x-7）y=7x
等式左右都是两个数的积，7是素数，所以有
①x-7=7k,则，y=x/k=7(k+1)/k,所以k必须整除7或k+1，这样得k=1或7，带入，
则x=14，y=14或x=56，y=8
②y=7t,则，x-7=x/t，则x=7t/（t-1）,讨论如①，得
x=14，y=14或x=8，y=56
所以此题所有答案为
x=14，y=14或x=56，y=8或x=8，y=56

(x+y)/xy=1/7
xy=7(x+y)
(x-7)(y-7)=49
x=14,y=14
or
x=56,y=8
or
x=8,y=56

由题意，得 方程两边同乘以7xy ：7y+7x=xy
移项，得xy-7x-7y=0
方程两边同加上49 ：xy-7x-7y+49=49 所以（x-7)(y-7)=49
又4