已知函数f(x)=3sin2x+2√3sinxcosx+5cos2x.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/21 20:24:07
(I)求函数f（x）的周期和最大值；(II)已知f（a）=5，求tama的值。需要过程

f(x)=3sin2x+2√3sinxcosx+5cos2x=3sin2x+√3sin2x+5cos2x
=(3+√3)sin2x+5cos2x
=√[(3+√3)^2+5^2]*sin(2x+φ）

所以,周期T=2π/2=π
最大值是：根号[（3+根号3）^2+5^2]=根号（37+6根号5）

(I)
f(x)=3sin2x+2√3sinxcosx+5cos2x
=3sin2x+√3sin2x+5cos2x
=(3+√3)sin2x+5cos2x
=√[(3+√3)^2+5^2]·sin(2x+arctan(5/(3+√3)))
=√(37+6√3)·sin(2x+arctan(5/(3+√3)))
∴f（x）的最小正周期是2π/2=π;
∵sin(2x+arctan(5/(3+√3))≤1
∴f(x)=√(37+6√3)·sin(2x+arctan(5/(3+√3)))≤√(37+6√3).

(II) 代入原式:
f(a)=3sin2a+2√3sinacosa+5cos2a
=(6+2√3)sinacosa+5(cos^2 a-sin^2 a)
=5cos^2 a+(6+2√3)sinacosa-5sin^2 a
=5
∴(6+2√3)sinacosa-5sin^2 a=5(1-cos^2 a)=5sin^2 a;
(6+2√3)sinacosa=10sin^2 a;
两边同时除以sin^2 a得
(6+2√3)/tan a=10;
∴tan a=(6+2√3)/10=1+√3/5