再谈初等变换法在矩阵计算中的应用(英翻中)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 04:57:12
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Usually, for an n×n matrix over a number field F , eigenvalues are obtained by solving its eigenequation.
That is to say, we need to solve an equation of order n in one variable, whose processing is very trouble.
Similarly, if we diagonalize a matrix A , we need to judge whether A has n linear independent eigenvectors;
if similar transformation matrix is required, we have to find basic solutions of a system of n linear equations in
n variables.
The QR decomposition of a matrix is one of the useful methods in matrix computation. But its computing
process is very complex, which makes us trouble. In this paper, we give an elementary transformation method for
finding a QR decomposition of any full-column-rank matrix.
2 Basic theory
Theorem 2[1] If A ∈ Rm×nis of full column rank，then AT Ais symmetric positive definite. In addition,
AT Ahas the unique triangular decomposition

AT A= LDLT,（1）
where L i

通常，为在数字域F的一个n×n矩阵，本征值通过解决它的eigenequation获得。
也就是说，我们需要解决秩序n的等式在一可变物的，处理是非常麻烦。
Similarly，如果我们斜向移动矩阵A，我们需要判断A是否有n线性独立特征向量; 相似的变革矩阵需要的if，我们必须发现n线性方程系统的基本解法在的n可变物。 矩阵的The QR分解是其中一个在矩阵计算的有用的方法。 但是它计算
process是非常复杂的，造成我们困难。 在本文，我们给的一个基本的变革方法finding QR分解任何充分专栏排列矩阵。
2基本的理论
Theorem 2 [1]，如果∈充分的专栏rank，then Rm×nis在Ais相称正面确定的。 另外，
AT Ahas独特的三角分解

AT A= LDLT， （1）
where L是所有的一个低三角形矩阵
diagonal元素1， D是一个对角矩阵与
positive对角elements，and Tis移置
of A。
Theorem 3，如果∈充分的专栏Rm×nis
rank，then A有QR分解
A = QR（2） WHERE Q = A (L ？1) T D ？正交的1/2has
normal专栏和非奇R =的D1/2LTis 三角的upper。 由(1)的Proof，我们有
n
(D ？ 1 /2L ？1AT) (D ？1/2L ？1AT) T=I，
implies (D ？ 1 /2L ？1AT)正交的Thas
normal专栏。 让Q = A (L ？1) T D ？1/2and
R = D1/2LT，然后证明是完全的。
From定理2和3，计算QR
decomposition (2)充分专栏排列矩阵
A ∈ Rm×nis被变换成二步： 首先 在A的calculate三角分解(1)，和
then计算Q和R根据
Q = A (L ？1) T D ？1/2and R = D1/2LT，
respectivel