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关于微积分学的理论体系
摘要:本文从微分中值定理和积分中值定理出发,沿波讨源,探讨了微积分学的理论体系,特别证明了闭区间上连续函数的三个性质与实数连续性的等价性。
关键词:实数连续性定理;等价
在F’( x) = f ( x)于闭区间[ a, b ]连续的条件下, F ( x)的微分与f ( x)的积分构成的矛盾,通过微分中值定理和积分中值定理可把矛盾的双方揭示为统一,从而建立了实一元函数微积分的基本定理和基本公式。那么这两个中值定理又是如何建立的呢? 我们沿波讨源,便得到实分析的理论体系,这就是刻划实数连续性的一些定理,即实分析的理论之源。微分中值定理可由下边定理推出(见文献(1) )
定理1 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]上必有上下界。此定理可由下边定理推出。
定理2 若f ( x)在[ a, b ]连续,则f ( x)在[ a, b ]一致连续。
下证由定理2推出定理1:
取定ε> 0, vδ> 0,对P x’, x’’∈[ a, b ], vδ> 0,使当| x’- x’’| <δ时,恒有| f ( x’) - f ( x’’) | <ε 等分[ a, b ]为
n个子区间[ xi - 1 , xi ] ( i = 1, 2, ⋯, n) ,使b - a
n
<δ( x0 = a, xn = b) ,于是对任一x∈[ a, b ],此x必在[ a, b ]
的分成的某个小区间[ xk - 1 , xk ] (1≤k≤n)上。
当x∈[ xk - 1 , xk ]时,有
f ( x) - f ( a) = f ( x) - f ( xk - 1 ) + f ( xk - 1 ) - f ( xk - 2 ) + ⋯ + f ( x2 ) - f ( x1 ) + f ( x1 ) - f ( a) 当x = xk - 1时,有
f ( x) - f ( a) = f ( xk - 1 ) - f ( xk - 2 ) + ⋯ + f ( x2 ) - f ( x1 ) + f ( x1 ) - f ( a)