数学题（帮帮忙，谢啦！）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 07:36:53
计划建造一个深为4米，容积为1600立方米的长方体小池，若池壁每平方米
造价为20元，池底每平方米造价为40元，问池壁和池底造价之和和最低为多少？

设池底边长分别为X和Y，由题设可知
XY=1600/4=400
Y=400/X
池壁和池底造价之和为Z，则
Z=40*400+20*4*（2X+2Y）
=16000+160（X+Y）
=16000+160（X+400/X）
由X+400/X=（根号X-20/根号X）^2+40
可知，当且仅当（根号X-20/根号X）=0时，Z取得最小值。
即当X=20时，Z取得最小值，此时
Z=16000+160*2*20=16000+6400
=22400
池壁和池底造价之和为最低为22400元。

底面积=400平方米
设底面长a，宽400/a
则池壁面积4(a+400/a)
所以造价=400*40+20*4(a+400/a)
a>0
所以a+400/a>=2√(a*400/a)=40
当a=400/a,即a=20取等号
所以最低=400*40+20*4*40=19200元

设长为a宽为b则4ab=1600,总花费表示为:40ab+20*4*2*(a+b)
然后将b=400/a代入根据基本不等式可得当a=b=20时取最小值22400