设f(x)=根号x,p,q大于0,且p+q=1。求证pf(x1)+qf(x2)小于等于f(px1+qx2)

f(x)=√x
pf(x1)+qf(x2)=p√x1+q√x2
f(px1+qx2)=√(px1+qx2)
p,q大于0,
则，[pf(x1)+qf(x2)]^2-[f(px1+qx2)]^2=
p^2x1+q^2x2+2pq√x1x2-(px1+qx2)
=(p^2-p)x1+(q^2-q)x2+2pq√x1x2
=p(p-1)x1+q(q-1)x2+2pq√x1x2
p+q=1,则
p(p-1)x1+q(q-1)x2+2pq√x1x2
=-(pqx1+pqx2)+2pq√x1x2
由重要不等式得：
(pqx1+pqx2)≥2√pqx1pqx2=2pq√x1x2
所以-(pqx1+pqx2)+2pq√x1x2≤0
所以[pf(x1)+qf(x2)]^2-[f(px1+qx2)]^2≤0
所以[pf(x1)+qf(x2)]≤[f(px1+qx2)]^2

写的详细了点,好懂点 你在草稿纸上写出来其实只有两三行
看懂了很容易写
f(px1+qx2)=√（pX1＋qX2）
平方得（pX1＋qX2）
因为 p+q=1
所以（pX1＋qX2)(p+q）=（pX1＋qX2）
根据柯西不等式则 (pX1＋qX2）=（pX1＋qX2）(p+q)大于等于
（p√X1+q√X2)^2
即(pX1＋qX2)大于等于（p√X1+q√X2)^2
两边都开根号
所以√（pX1＋qX2）大于等于（p√X1+q√X2)
（p√X1+q√X2)就是 pf(x1)+qf(x2)
所以 f(px1+qx2)=√（pX1＋qX2）大于等于pf(x1)+qf(x2)
则 f(px1+qx2)大于等于pf(x1)+qf(x2)
即pf(x1)+qf(x2)小于等于f(px1+qx2)

题目等价于证明
p√x1+q√x2<=√(px1+qx2)
由于p,q都大于0，且小于1，所以不等式两边显然都大于0

两边平方，则左边的平方为：p^2*x