急！两道高一数学函数题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 21:02:49
一、设有函数y=f(x),x是实数，证明：若下列两条件之一满足，则此函数是周期函数：
1.它的图像关于两直线x=a与x=b对称（a与b不相等）；
2.它的图像关于直线x=a及点(b,c)对称（a与b不相等）。
注：要分开证明。

二、已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称，且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2009)的值为？

请用高一知识解答，并附有详细过程，万分感谢！
非常感谢您详细的解答，不过请问您能告诉我您是怎么想到这么做的吗？您的思路是怎样的？

您好,希望您能通过"百度HI"与我进行交谈
此处不便说明,谢谢.

一
(1)证明:
由于
函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称
则:f(a+x)=f(a-x)
令X=a-x
则：f(2a-x)=f[a-(a-x)]
=f(x)

又函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称
则同理可得：
f(x)=f(2b-x)

所以f(2a-x)=f(2b-x)
设y=2b-x
则：x=2b-y
所以f(y)=f[2a-(2b-x)]
=f[y+2(a-b)]
由于y是任意的
所以f(x)是以2(a-b)为周期的周期函数

(2)证明：
由于函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，
故同理得：f(x)=f(2a-x)

又函数y=f(x)的图像关于点（b,c）对称,
故f(x)+f(2b-x)=2c

所以由f(x)=f(2a-x)，
得：
f(2a-x)=f(x)
=2c-f[2b-x]
=2c-f[2b-(2a-x)]
=f(2b-2a+x)
则：f[2b-(2a-x)]
=f[2a-(2b-2a+x)]
=f(4a-2b-x)
则： f[2a-(2b-2a+x)]
=2c-f[2b-(4a-2b-x)]
=2c-f(4b-4a+x)，
所以f(x)=f(4b-4a+x),
则：f(x)是以4b-4a为周期的周期函数

综上所述，
若两条件之一满足，则函数是周期函数

二
由f(x)=-f(x+3/2),
得：f(x+3/2)=-f(x)
令X=x+3,
则：
f(x+3)
=f(x+3/2+3/2)