已知函数f(x)=2xlnx-x^2+1,证明:f(x)在(0,正无穷)上时减函数

f'=2lnx+2-2x=2(ln-x-1)=2(lnx-lne^x-lne)=2ln[x/(e*e^x)]

对于x/(e*e^x)，当1>=x>0时，e*e^x>1,所以x/(e*e^x)<1
当x>1时，e^x>1^x=x,e*e^x>x,所以x/(e*e^x)<1
综上所述x/(e*e^x)<1
所以，f'=2ln[x/(e*e^x)]<0
所以f(x)在(0,正无穷)为减函数