函数f(x)=in(1+x)-x,g(x)=xlnx

解：①函数的定义域为(-1+∞).

令f'(x)=1/(1+x)-1=0得x=0.

在x=0附近，f'(x)由左正到右负，

故函数f(x)有最大最值为f(0)=0.

②设F(x)=g(a)+g(x)-2g(a+x2)

则F'(x)=g'(x)-2g(a+x2)'=lnx-lna+x2.

当0<X<A时，F'(X)a时，F'(x)>0.

故在(0，+∞)上F(x)min=F(a)=0.

又b>a∴F(b)>F(a)=0.

即g(a)+g(b)-2g(a+b2)>0获证.

又设G(x)=F(x)-(x-a)ln2则G'(x)=lnx-ln(a+x).

若x>0时G'(x)<0.故在(0，+∞)上为减函数。

又b>a∴G(b)

即g(a)+g(b)-2g(a+b2)<(b-a)ln2.

1.先求导,使之=0,x=0.
2.也是求导,求其最大与最小值即可.