一道排序不等式证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 11:46:32
设a,b,c属于R，求证
（a^2+b^2)/(2c) + (b^2+c^2)/(2a) + (c^2+a^2)/(2a)小于等于
(a^2)/(bc) + (b^2)/(ca) + (c^2)/(ab)

原题是要证明两个不等号的，其中一个已经证出来了。
这个题目拿给我几位老师都没能马上在十几分钟内出正确思路，可能要给有一点竞赛功底的人或者是大学以上水平的人做起来会比较合适。（请教的老师已经是市里最好的高中的老师了）
所以请大家认真耐心地做，另外，请详细地写出过程。

题目条件打漏了不好意思，三个数都属于R+

这道题题目有误，我想题目应该是这样的，否则上述不等式显然不成立。：
已知a,b,c∈R+,求证：
（a^2+b^2)/(2c)+(b^2+c^2)/(2a)+(c^2+a^2)/(2b)<=(a^3)/(bc)+(b^3)/(ca)+(c^3)/(ab)

这个是可以证明的：
接下来证明：
原不等式左右两边同乘以2abc,则上述不等式等价于证:
ab（a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)<=2a^4+2b^4+2c^4
也即a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3<=2a^4+2b^4+2c^4
即证：(a^3b+b^3c+c^3a)+(ab^3+bc^3+ca^3)<=(a^4+b^4+c^4)+(a^4+b^4+c^4)
不妨设a<=b<=c
则a^3<=b^3<=c^3
所以a^3b+b^3c+c^3a是乱序和，a^4+b^4+c^4是顺序和
因此a^3b+b^3c+c^3a<=a^4+b^4+c^4
而ab^3+bc^3+ca^3是乱序和，a^4+b^4+c^4是顺序和
所以ab^3+bc^3+ca^3<=a^4+b^4+c^4

以上两式相加即得：(a^3b+b^3c+c^3a)+(ab^3+bc^3+ca^3)<=2a^4+2b^4+2c^4

所以原不等式得证

lz题目给错了吧，两边连次数都不一样，怎么可能比较大小？
随便举个反例吧:a=b=c=2