一道不等式证明问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/11 00:38:29
设二次函数f（x）=ax^2+bx+c 对一切实数x属于[-1，1]都有f(x)的绝对值小于等于1。
求证：（1） a的绝对值小于等于2，a+c的绝对值小于等于1。
（2） 对一切x属于[-1，1]都有2ax+b的绝对值小于等于4。
（3） 当x的绝对值小于等于2时，f(x)的绝对值小于等于7。
谢谢！！！

1./f(-1)/=/a-b+c/=<1（=<小于等于)（//为绝对值）
./f(1)/=/a+b+c/=<1
所以，/2a+2c/=<2
/a+c/=<1
2./f(x)'/=/2ax+b/
当且仅当f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1
或f(1)=f(-1)=-1,f(0)=1时
函数在[-1，1]内存在最大导数绝对值
此时a=2,b=0.c=-1或a=-2,b=0.c=1
所以最大导数绝对值为/f(x)'/max=/f(±2)/=4
所以/2ax+b/=<4
3.由第二小问得，当f(x)在f(1)或f(-1)处有最大斜率
则，a=2,b=0.c=-1或a=-2,b=0.c=1
所以/f(x)/max=/f(2)/=/f(-2)/=7
所以/f(x)/=<7
(这题应该是高中题，但我觉得这题用导数做十分方便，若没有学习过导数，可以自学，这对学习高中数学有很大好处。）