一道七年级数学竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 04:04:08
1.(江苏竞赛)现有长为150cm的铁丝,要截成n(n＞2)小段,每段的长为不小于1cm的整数,要求其中任意3小段都不能拼成三角形,试求n的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?
难？

因为三角形两边之和大于第三边
所以后一项应该大于等于前两项的和
所以这些小段的长度只可能分别是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……
但1+1++2+……+34+55=143＜150
1+1+2+……+34+55+89=232＞150
故n的最大值为10
共有以下7种方式：
（1，1，2，3，5，8，13，21，34，62）
（1，1，2，3，5，8，13，21，35，61）
（1，1，2，3，5，8，13，21，36，60）
（1，1，2，3，5，8，13，21，37，59）
（1，1，2，3，5，8，13，22，35，60）
（1，1，2，3，5，8，13，22，36，59）
（1，1，2，3，5，8，14，22，36，58）

设第n块长An
所以不妨设A1<=A2<=A3<=A4<=...<=An
因为任意三块构不成三角形
只需An-2 +An-1 <=An 即可
因为总长有限
为了n最大，A1取1cm，A2也取1cm。
A3>=1+1=2cm，所以，同理，A3取2cm
A4=1+2=3cm A5=3+2=5cm A6=3+5=8cm
A7=5+8=13cm A8=8+13=21cm A9=13+21=34cm
A10=21+34=55cm S10=143，所以n最大为10
共几种
A10增大7,S10=150 1种
A10增大6,A9可以增大1, 1种
A10增大5,A9增大1,A8增大1
A9增大2 2种
A10增大4,A9增大2,A8增大1
A9增大3 2种
A10增大3,A9增大2,A8增大1,A7增大1 1种

1+1+2+2+1=7种

分成长度为1 2 3 5 8 13 21....

16种