解不等式方程的列子

采我蛤

我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程

x-2y=3，

方程组

等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．

不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．

我们先看一个例子．

例 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？

解 设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程

3x+11y=50．

这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．

但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．

因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．

若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；

若y=4，则x=2，符合题意．

所以，这个方程有两组正整数解，即

也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．

像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．

例 求不定方程x-y=2的正整数解．

解 我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数