任意一个三角形的内接圆半径为r，外接圆半径为R，请证明两圆的圆心距d等于什么（要有过程）？

d^=r^2-2rR
三角形的外接圆O的半径r,内接圆I的半径R

证明：因为为任意三角形，不妨连接AI，OI
则∠AOI=п/2-B-A/2 （这里A，B，C为都是三个内角的大小，此值可用三内角相加除以2-角A/2，易证明）
首先用余弦定理
（R^2/(sin(A/2))^2+r^2-d^2）/(2rR/sinA)=cos∠AOI
=cos(п/2-B-A/2)=cos(п/2-B/2-(B+A)/2)
=cos(-B/2+c/2)
=cos((C-B)/2)
化解通分得
d^2=r^2+R^2/(sin(A/2))^2-(2Rcos((C-B)/2))/sin(A/2)
要证明命题成立即证明
R^2/(sin(A/2))^2-(2Rcos((C-B)/2))/sin(A/2)
=-2Rr
化解，通分后得R/sin(A/2)=-2r(-cos((C-B/2))+cos((B+C)/2))
=4rsin(C/2)sin(B/2)
化解得R=4rsin(C/2)sin(B/2)sin(A/2)
即证明此等式成立，也就是你问的等式为什么成立，现在证明此等式成立：
用正弦定理
2r=AB/sin(C)=[Rcot(A/2)+Rcot(B/2)]
/2sin(C/2)cos(C/2)
化解通分得
4rcos(C/2)sin(A/2)sin(C/2)sin(B/2)
=R(cos(A/2)sin(B/2)+sin(A/2)cos(B/2))
=Rcos(C/2)
两边削去cos(C/2)
即证明R=4rsin(C/2)sin(B/2)sin(A/2)
成立
所以原命题成立
所以d^=r^2-2rR