UC知道几何级数和证明
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 18:16:42
证明1*r^1+2*r^2+```+nr^n<r/(1-r)^2,其中n≥1,0<r<1.
提示:
⑴r^0+r^1+```+r^n<1/(1-r),其中n≥0,0<r<1;
⑵比较图形中对角方向("/"方向)上各项的和与每一列各项的和.
r r^2 r^3 r^4 ``` r^n
r^2 r^3 r^4 ``` r^n
r^3 r^4 ``` r^n
r^4 ```
` `
` `
` `
r^n
r^n
图出了点问题```
但应该不会有太大的影响```
喂```
都打算无视提示了么```
算了```
我也无视了```
提示:
⑴r^0+r^1+```+r^n<1/(1-r),其中n≥0,0<r<1;
⑵比较图形中对角方向("/"方向)上各项的和与每一列各项的和.
r r^2 r^3 r^4 ``` r^n
r^2 r^3 r^4 ``` r^n
r^3 r^4 ``` r^n
r^4 ```
` `
` `
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r^n
r^n
图出了点问题```
但应该不会有太大的影响```
喂```
都打算无视提示了么```
算了```
我也无视了```
令Sn=1*r^1+2*r^2+```+nr^n ①
rSn=1*r^2+2*r^3+```+nr^(n+1)②
①-②得
（1-r）Sn=（r^1+r^2+...+r^n）-nr^(n+1)=r（1-r^n）/（1-r）-nr^(n+1）
Sn=r（1-r^n）/（1-r）^2-nr^(n+1）/（1-r）=（r-r^(n+1）-n（1-r）r^(n+1））/（1-r）^2
分母相同，看分子，r-r^(n+1）-nr^(n+1）+nr^(n+2）与r相比较
r-r^(n+1）-nr^(n+1）+nr^(n+2）=r-r^(n+1）【1+n（1-r）】，∵
0<r<1，所以-r^(n+1）【1+n（1-r）】小于0，所以r-r^(n+1）【1+n（1-r）】<r
所以Sn<r/（1-r）^2
证明1*r^1+2*r^2+```+nr^n<r/(1-r)^2,其中n≥1,0<r<1.
请参考下面的解法
求值：1*1/2+2*1/4+3*1/8+...+n*1/2^n
解
令S(n)=1*1/2+2*1/4+3*1/8+...+n*1/2^n
则2*S(n-1)=1/4+2*1/8+...+(n-1)*1/2^n
S(n)-2*S(n-1)=1/2+1/4+..+1/2^n
然后解出S(n)