不等式问题 急!!!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 06:30:30
已知0<α<β<π/2,且tanβ=3tanα,求β-α的最大值

我们期中数学的一道填空……

首先可以通过单位圆知道
设tanβ=3m，tanα=m
那么要使β-α最大，在(0,π/2)就应该使tan(β-α)最大
tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)=2m/(1+3m^2)
也就是使它的倒数最小
根据均值不等式可以算出(1+3m^2)/2m>=sqrt3
所以相反的tan(β-α)<=sqrt3
根据题意，可以得到β-α最大为π/6