～～～请教两道““线性代数””的问题

1、
(1)因为任意的A，B属于S，都有tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0，所以A+B属于S；对任意实数a，tr(aA)=atr(A)=0，所以aA也属于S。
显然，S对加法成交换群，并满足数乘的条件（都是矩阵的性质），因而S是R^(n*n)的子空间。

(2)我们将R^(n*n)中的零元素r分解为S和L中的元素和：
如果有两种分解方法r=s1+l1=s2+l2，那么(s1-s2)+(l1-l2)=0。而s1-s2中的对角元素全为0，所以l1-l2的对角元素全为0；而l1-l2是对角矩阵，所以l1-l2=0。由此推出l1=l2，s1=s2。
因此0元素的分解方法唯一，从而R^(n*n)是S和L的直和。

(3)L是n维的，所以S是n^2-n维的。

2、
(1)因为<A, B>=tr(AB)满足
<aA, B>=tr(aAB)=atr(AB)=a<A, B>，
<A+B, C>=tr((A+B)C)=tr(AC)+tr(BC)=<A, C>+<B, C>，
<A, B>=tr(AB)=tr(BA)=<B, A>，
<A, A>=tr(A^2)>=0，且等号成立仅当A=0，
因此该定义是内积。

(2)S的互补子空间S'满足任意的S中元素s，S'中元素z，都有<s,z>=tr(sz)=0。
考察矩阵sz的第i行第i列的元素aii。显然，由于s和z的任意性，所有的aii都必须为0。
a11=0z11+s12z21+...+s1nzn1=0
所以除了z11外所有的zi1=0。
同理除了z22外所有的zi2=0。
……
于是求得z必为对角矩阵。
因此，S的互补子空间是L的子集。
另一方面，对任意L中的元素l，容易验证tr(sl)=0，所以L是S的互补子空间的子集。
从而，S的互补子空间就是L。

(3)由(2)知，M和M'就是S