关于数学三角形的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 08:03:13
如图，在等腰三角形ABC中，角ABC=120度，点P是底边AC上一个动点，M,N分别是AB,AC的中点，如果PM+PN的最小值为2，那么三角形ABC的周长是

由题以及图形可知，
当P为底边AC的中点时，PM+PN取得最小值2，
此时PM=PN,
从而PM=PN=1,
因为M,N分别是AB,AC的中点，
所以
AB=2PN=2=2PM=BC,
在等腰三角形ABC中，角ABC=120度,
从而角A=角C=(180-120)/2=60/2=30度，
P为AC中点，则BP为底边AC的高，
则在直角三角形ABP中，
AP=ABcos30=2*√3/2=√3,
则AC=2AP=2√3,

所以三角形ABC的周长为
AB+BC+AC
=2+2+2√3
=4+2√3.

或着

作M关于AC的对称点M'
则：PM+PN=PM'+PN
PM'+PN最小时，N、P、M'三点共线
易得：PM+PN=PM'+PN=AB=2
三角形ABC的周长=AB+BC+AC
=2+2+2*2sin(120°/2)
=4+2√3

由题以及图形可知，
当P为底边AC的中点时，PM+PN取得最小值2，
此时PM=PN,
从而PM=PN=1,
因为M,N分别是AB,AC的中点，
所以
AB=2PN=2=2PM=BC,
在等腰三角形ABC中，角ABC=120度,
从而角A=角C=(180-120)/2=60/2=30度，
P为AC中点，则BP为底边AC的高，
则在直角三角形ABP中，
AP=ABcos30=2*√3/2=√3,
则AC=2AP=2√3,

所以三角形ABC的周长为
AB+BC+AC
=2+2+2√3
=4+2√3.

作M关于AC的对称点M'

则：PM+PN=PM'+PN

PM'+PN最小时，N、P、M'三点共线

易得：PM+PN=PM