高一几何题求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 11:43:24
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4根号3，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）证明PA⊥BD.

分别取AD,BC的中点M,N
连结MN，PM,PN,在面PMN内作PH⊥MN于H
显然MN⊥AD
因PA=PD,AM=MD
故PM⊥AD
这样∠PMN即为二面角P-AD-B的平面角
故∠PMN=60°
故PM=√3AD/2=6
MH=PMcosPMN=3
PH=PMsinPMN=3√3
因AD⊥PM，AD⊥MN
故AD⊥面PMN
PH在面PMN内
故PH⊥AD
又PH⊥MN
故PH⊥面ABCD
故四棱锥P—ABCD的体积=AB*AD*PH/3
=96
连结AH
易知tanMAH=MH/AM=√3/2
tanABD=AD/AB=√3/2
显然这样有∠MAH=∠ABD
故∠ABD+∠BAH=∠MAH+∠BAH=90°
故AH⊥BD
因PH⊥面ABCD
故PH⊥BD
故BD⊥面PAH
故PA⊥BD