为什么调和级数是发散的？

1+1/2+1/3+1/4+...
分段
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10...+1/16)+...
放缩法，每个括号里统一分母
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+1/16...+1/16)+...
=1+1/2+2/4+4/8+8/16...
=1+1/2+1/2+1/2+...
有无穷多个1/2 所以是趋于无穷大的

调和级数缩小后尚且趋于无穷大，说明调和级数本身也是趋于无穷大的，故发散。

1. 由调和数列各元素相加所得的和为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

2. 很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：

   1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

   1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

   注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

   从更广泛的意义上讲,如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。