求过（1，2，1）和（2，-1，2）两点且平行于向量{3，2，1}的平面方程

设平面为Ax+By+Cz+D=0
平面法向量为（A,B,C）与（3 2 1）垂直
有3A+2B+C=0
点在平面上
则A+2B+C+D=0
2A-B+2C+D=0
3个方程4个未知数
可以将A B C用D表示
在平面方程两边消去D化成一般形式

设所求平面方程的法线矢量为（A,B,C),平面过点（1，2，1），由点法式 A(X - 1) + B(Y - 2) + C(Z - 1) = 0 ,（一式），又因平面过点（2， -1，2），则有 A(2 - 1) + B( -1 - 2) + C(2 - 1) = 0 ,经整理 A - 3B + C = 0 ,(二式），因向量（A,B,C)与向量（3，2，1）垂直，所以 3A + 2B +C = 0 ,(三式）。令一，二，三式中A,B,C的系数行列式为零，解得 5(X - 1) - 2(Y - 2) - 11（Z - 1) = 0 ,这就是所求平面的点法式方程。

设平面为Ax+By+Cz+D=0
平面平行于向量{3，2，1}
则3A+2B+C=0
点在平面上
则A+2B+C+D=0
2A-B+2C+D=0
解方程组就可以了