正交变换的证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 05:02:00
证明：A是n维欧式空间V的一个线性变换，若A在任一组标准正交基下矩阵是正交矩阵，那么A是正交变换。

根据定义，要证明是正交变换，只要证明该变换保持内积不变就行了。

设a,b是V中的两个向量，
a在标准正交基下的坐标是X=[x1,x2,...,xn]' ('表示转置)
b在标准正交基下的坐标是Y=[y1,y2,...,yn]'

设在该标准正交基下，线性变换的矩阵是A（根据题意，A是正交阵）。
a,b分别经过线性变换后得到c,d。
则c的坐标为AX，d的坐标为AY。

考察a和b的内积
<a,b>=<X,Y>=Y'*X

考察c和d的内积
<c,d>=<AX,AY>=（AY）'*（AX）=Y'(A'A)X
由于A是正交阵，所以A'A=I
所以<a,b>=<c,d>=Y'X

至此证明该变换保持内积不变，于是是正交变换。