已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B、D.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 10:23:45
已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2：y=-2x3+3x(x≥0)交于O、A，直线x=t(0<t<1)与曲线C1，C2分别交于B、D.
（1）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);

（2）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.

解:1.曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2：y=-2x3+3x(x≥0)交于O、A
联立方程组得y=x3
y=-2x3+3x
解得x=0,x=1
则O、A坐标为(0,0)(1,1)
直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B、D
则B、D坐标分别为(t,t^3)(t,-2t^3+3t)
所以S=1/2|BD|t+1/2|BD|(1-t)
=1/2|BD|=1/2|(-2t^3+3t)-t^3|
而(-2t^3+3t)-t^3>0(0<t<1)
所以S=1/2((-3t^3+3t)(0<t<1)
2.f(t)=1/2(-3t^3+3t)(0<t<1)
则f'(t)=1/2(-9t^2+3)(0<t<1)
令f'(t)>=0 则0<t<=3分之根号3
即函数f(t)在区间(0,3分之根号3]是增函数
在区间(3分之根号3,1)是减函数
所以f(t)max=f(3分之根号3)=3分之根号3