函数和数列综合题

(1)f′(x)=1-cosx
当0<x<1时，f′(x)>0
故f(x)在（0，1）上单调递增
故当0<x<1时，f(x)>f(0)=0,f(x)<f(1)=1-sin1<1
用数学归纳法证明
a2=f(a1)=a1-sina1
因0<a1<1，故0<a2<1
a2-a1=a1-sina1-a1=-sina1<0
即a2<a1
即得0<a2<a1<1
这样n=1时不等式0<an+1<an<1成立
假设n=k时成立即有0<a（k+1）<ak<1
当n=k+1时
a（k+2）=f(ak+1)=a（k+1）-sina（k+1）
因0<a(k+1）<1，故0<a（k+2）<1
a(k+2)-a(k+1)=a(k+1)-sina(k+1)-a(k+1)=-sina(k+1）<0
即a（k+2）<a（k+1)
即得0<a(k+2)<a(k+1)<1
故n=k+1时也成立
故对任意正整数n，有0<an+1<an<1
(2)要证an+1<1/6an^3
即证an-sinan<1/6an^3
即证1/6an^3-an+sinan>0
令g(x)=1/6x^3-x+sinx
g′(x)=1/2x²-1+cosx
g〃(x)=x-sinx
易知当0<x<1时，g〃(x)>0
即g′(x)在(0,1)上单调递增
又g′(0)=0
故当0<x<1时，g′(x)>0
即g(x)在(0,1)上单调递增
故当0<x<1时，g(x)>0
因0<an<1
故g(an)>0
即1/6an^3