关于矩阵初等变换

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/16 15:23:46
线代 把一个矩阵变成若干个初等矩阵的积，是用到矩阵的初等变换的知识。这方面我很迷茫。

比如对调两行，r1-r2,和r1*1/2,r1-r2,等，是分别相当于乘以什么矩阵？

高手帮帮啊！

首先明确，行变换就是左乘，列变换就是右乘。
接下来，就以行变换为例，进行不同的行变换就是左乘不同的矩阵：

先构造一个N*N的单位阵I

（1）对调两行r1－－r2：
我们就把I的第r1行和r2行对调，得到矩阵A就是那个要左乘的矩阵。A为：
0 1 0 ...0
1 0 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
矩阵对调两行r1-－r2就是左乘上面的A。

（2）r1*1/2：
我们就把I的第r1行乘以1/2，得到矩阵B就是那个要左乘的矩阵。B为：
1/2 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
矩阵行变换r1*1/2就是左乘上面的B。

(3)r1-r2
我们就把I的第r1行减去第r2行，得到矩阵C就是那个要左乘的矩阵。C为：
1 -1 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1

矩阵行变换r1-r2就是左乘上面的C。

行变换就是左乘，列变换就是右乘。
例如说(1)对调1、4行，就是左乘：
0 0 0 1 0 ...
0 1 0 0 0 ...
0 0 1 0 0 ...
1 0 0 0 0 ...
(2)第3行减第一行：
1 0 0 0 ...
0 1 0 0 ...
-1 0 1 0 ...
0 0 1 0 ...
(3)1/2*第2行：
1 0 0 0 ...
0 1/2 0 0 ...
0 0 1 0 ...
0 0 0 1 ...
列变换类似：
（1）1、4列对调，右乘以与上面行变换中相同的矩阵；
（2）3列减1列：
1 0 -1 0 ...
0 1