请教一个数列问题

an=(5/6)^n*6/5*1/6*n=1/5*n*(5/6)^n
令Sn=a1+a2+……+an=1/5*5/6+2/5*(5/6)^2+……+n/5*(5/6)^n
则5/6Sn=1/5*(5/6)^2+2/5*(5/6)^3+……+n/5*(5/6)^(n+1)
Sn-5/6Sn=1/5*5/6+1/5*(5/6)^2+……+1/5*(5/6)^n-n/5*(5/6)^(n+1)
=1/5*5/6*(1-(5/6)^n)/(1-5/6)-n/5*(5/6)^(n+1)
即Sn=6*(1-(5/6)^n)-6n/5*(5/6)^(n+1)
limSn=6

=[(5/6)^n/(5/6)]*(1/6)^n
=(5/6*1/6)^n*(6/5)
=(6/5)*(5/36)^n

(5/36)^n是无穷递缩等比数列
a1=5/36,q=5/36
所以和=a1/(1-q)=(5/36)/(29/36)=5/29
所以原式=(6/5)*(5/29)=6/29

1/6

用x代替5/6，于是所求式子改写为
(1-x)*∑nx^{n-1}
后者是1/(1-x)^2的Maclaurin展开，在x=5/6的时候收敛到原函数，所以原式
=(1-x)*[1/(1-x)^2]
=1/(1-x)
=6