UC知道线性代数 正多面体问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 20:28:09
欢迎高手们帮我摆平一道题目。
问题：若仅用a个正六边形与b个正五边形组成多面体，求a与b满足的关系。
我的做法是，利用欧拉定理，列出方程，结果可求出五边形个数是12。仅按照欧拉定理来看，六边形的个数似乎可以是任意的。可是，如果只用一个六边形和12个五边形好像是无法拼成多面体的。而20个六边形与12个五边形（足球就是这样拼接的）也不应该是唯一解，化学上有一类仅由碳原子构成的分子，分子中碳原子可仅组成五边形与六边形，如C60。有资料上说，此类分子满足的条件是：碳原子数（顶点）=60*x*x （x为整数）。我对此有点怀疑，我们觉得2个六边形与12个五边形应该也能构成立体，可是它不满足上式。 那么，到底有没有一个公式来描述符合条件的六边形数a呢？
欢迎给出公式，或者能够解决问题的思路和方法。
speedgx论述的似乎很有道理，但也怪我把原来题目给出的条件强化了，结果改变条件后，结论可能不一样。原来的条件是仅用五、六边形（每两个相邻多边形共用一条棱，每三个共一个端点）覆盖一个球体。注意：五六边形不要求边长相等，五、六边形可随意弯曲拉伸成由五、六条边围成的曲面。这样，2个“广义六边形”和12个“广义五边形”是应该可以完整覆盖一个球面的。答案的确不止一种，欧拉定理只是一个必要条件。我就是想知道其他的条件 ，或者结论：a满足的公式。
再次欢迎大家解答。我会继续增加悬赏分的。
问题：若仅用a个正六边形与b个正五边形组成多面体，求a与b满足的关系。
我的做法是，利用欧拉定理，列出方程，结果可求出五边形个数是12。仅按照欧拉定理来看，六边形的个数似乎可以是任意的。可是，如果只用一个六边形和12个五边形好像是无法拼成多面体的。而20个六边形与12个五边形（足球就是这样拼接的）也不应该是唯一解，化学上有一类仅由碳原子构成的分子，分子中碳原子可仅组成五边形与六边形，如C60。有资料上说，此类分子满足的条件是：碳原子数（顶点）=60*x*x （x为整数）。我对此有点怀疑，我们觉得2个六边形与12个五边形应该也能构成立体，可是它不满足上式。 那么，到底有没有一个公式来描述符合条件的六边形数a呢？
欢迎给出公式，或者能够解决问题的思路和方法。
speedgx论述的似乎很有道理，但也怪我把原来题目给出的条件强化了，结果改变条件后，结论可能不一样。原来的条件是仅用五、六边形（每两个相邻多边形共用一条棱，每三个共一个端点）覆盖一个球体。注意：五六边形不要求边长相等，五、六边形可随意弯曲拉伸成由五、六条边围成的曲面。这样，2个“广义六边形”和12个“广义五边形”是应该可以完整覆盖一个球面的。答案的确不止一种，欧拉定理只是一个必要条件。我就是想知道其他的条件 ，或者结论：a满足的公式。
再次欢迎大家解答。我会继续增加悬赏分的。
我觉得从数学上说：
由等边长的正五边形和正六边形够成的多面体只能是C60足球烯一种。
化学上更多的我不了解。
我的理由：
光用欧拉公式是不够的，还要挖掘一些细节。
F(面数)+V(点数)=E(棱数)+2
F=a+b，2E=3V=5b+6a。
由以上的条件可以解出b=12
每个顶点周围必然有三个多边形。
逻辑上可以分为3种情况：
①3个6边形或3个5边形，②1个6边形2个5边形，③2个6边形1个5边形。
有一个很显然的结论θ：
根据对称性，和每条棱交集为棱的两个端点的那两个多边形边数必然相同。
考虑这个多面体的某一个顶点。
情况①：
如果三个多边形同为正5边形或正6边形。
由它们扩展必然构成正12面体和一个平面。排除！
情况②：
利用结论θ，那个6边形必然被6个5边形包围了。
而且因结论θ限制，其中任何一个5边形周围的5个多边形必须是5边形和6边形
相间排列，5是个奇数，这明显是不可能的。排除！
情况③
同情况②，那个5边形必然被5个6边形包围了。
6边形周围的6个多边形，也必须是5边形和6边形相间排列，可以满足。
这样每个5边形被5个6边形包围，每个6边形被3个5边形和3个6边形相间包围。
又可以列一个方程：
多面体6边形个数a=5b/3
把b=12代入得：a=20
即得结论！
刚才弄错了。
2个六边形与12个五边形构成立体是不可能的，因为这样的话一个六边形的所有边都要与一个五边形相邻，但是那样的话，围绕的五边形外边就会剩下10条边，紧紧靠一个六边形是无法将这些边合起来的。
其他的问题再想一想，以后会修改自己的答案。