数学题正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 04:11:46
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证PQ‖平面CDD1C1；
(2) 求证PQ⊥AD；
(3) 求线段PQ的长.

（1）在平面AD1内，作PP1‖AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作
QQ1‖BC交CD于点Q1，连结P1Q1.
∵D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12
∴PP1平行且等于QQ1
四边形PQQ1P1为平行四边形
PQ‖P1Q1? ?
而P1Q1属于平面CDD1C1
所以PQ‖平面CDD1C1?
（2）∵ AD⊥平面D1DCC1
∴AD⊥P1Q1
又PQ‖P1Q1
∴PQ⊥AD
（3）由（1）知P1Q1平行且等于PQ
DQ1:Q1C=DQ∶QB=5∶12 ，而棱长CD=1
∴DQ1=5/17
同理可求得 P1D=12/17
在Rt△P1DQ1中，根据勾股定理
得P1Q1= 13/17
所以PQ= 13/17