求教一题数列的错位相减法

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 19:02:10
1，30，500，7000……，求此数列的通项公式及前n项和的公式

通项公式：（2n-1）×10^n-1

Sn=1+30+500+7000+……+（2n-1）×10^n-1
10Sn=10+300+5000+70000+……+（2n-1）×10^n
上面这条式子有错误么？
没有错的话应该怎麼减啊？
-9Sn=？

a(n)=(2n-1)*10^(n-1)=2n*10^(n-1)-10^(n-1)
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=2*1*1-1 + 2*2*10-10 + ... + 2n*10^(n-1)-10^(n-1)
=2[1*1 +2*10 + ... + n*10^(n-1)] - [1 + 10 + ... + 10^(n-1)][分组求和]
=2T(n) - [10^n-1]/(10-1).

T(n) = 1*1 + 2*10 + 3*10^2 + ... + (n-1)*10^(n-2) + n*10^(n-1),
10T(n) = 1*10 + 2*10^2 + 3*10^3 + ... + (n-1)*10^(n-1) + n*10^n.
9T(n)=10T(n)-T(n)=n*10^n-1-10-10^2-...-10^(n-1)=n*10^n-[10^n-1]/(10-1),[错位相减]
T(n)=(n/9)*10^n - [10^n-1]/81
S(n)=2T(n)-[10^n-1]/9
=2n*10^n/9 - 2[10^n-1]/81 - [10^n-1]/9
=[18n*10^n - 2*10^n + 2 - 9*10^n + 9]/81
=[18n*10^n - 11*10^n + 11]/81