过点A（0，1）和B（4，M），并且与X轴相切的圆有且只有一个，则M=

分两种情况
一种是这个圆与x轴的切点与B重合，即B在x轴上，此时过B作X轴的垂线，这条垂线与AB的中垂线的相交，交点为圆心，两线确定一点，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x轴的距离，此时圆有且只有一个
此时m=0，设圆心（x，y）
则B作X轴的垂线:x=4(1)
AB的中垂线:y=4(x-2)+1/2 (2)
联立(1)(2)得x=4,y=17/2 r=y=17/2
所以圆的方程（x-4)^2+(y-17/2)2=(17/2)^2
化简得：x^2-8x+16+y^2-17y=0
还有一种情况是AB平行于X轴，此时AB的中垂线垂直与x轴，又圆与x轴相切，所以AB的中垂线过切点，此时这条线上到三点距离相等的点只有一个，所以圆心是唯一的，又半径等于圆心到x轴的距离，此时圆有且只有一个
此时m=1
设圆心（x,y）
这AB中垂线:x=2
半径等于圆心到x轴的距离等于圆心到A的距离
所以：y^2=2^2+(y-1)^2
得y=5/2
所以圆的方程：（x-2)^2+(y-5/2)^2=(5/2)^2
化简得：x^2-4x+4+y^2-5y=0