三角形abc中，角b=2角c，求证：b^2=c^2+ac

B=2C
sinB=sin2C=2sinCcosC

b/sinB=c/sinC
b/2sinCcosC=c/sinC
b=2c*cosC=2c*(a^2+b^2-c^2)/2ab
2ab^2=2a^2c+2b^2c-2c^3
ab^2-b^2c=a^2c-c^3
b^2(a-c)=c(a-c)(a+c)

若a-c=0,a=c
则角A=C
因为角B=2C
所以B=90，A=C=45
此时有b^2=a^2+c^2,因为a=c
所以b^2=c^2+ac成立

若a-c不等于0
b^2=c(a+c)=c^2+ac

所以
b^2=c^2+ac

因为:角b=2角c,
B=2C,则有
sinB=sin2C=2sinC*cosC,
b=2c*(a^2+b^2-c^2)/2ab,
ab^2=ca^2+cb^2-c^3,
ab^2-cb^2=ca^2-c^3,
b^2(a-c)=c(a^2-c^2)=c(a+c)*(a-c),
b^2=c(a+c),
b^2=ca+c^2,
b^2-c^2=ca.
则,等式成立,得证.