高数题有关中值定理的

在[a,b]中取定x1,则存在x2,使得f(x2)<=(1/2)f(x1),又存在x3,使得f(x3)<=(1/2)f(x2)<=(1/2)^2*f(x1),依此类推,得到一数列{xn},满足f(xn)<=(1/2)^n*f(x1)趋于0,由于{xn}是有界数列,从而存在收敛子列,仍记为{xn},又[a,b]是闭集,则在[a,b]中存在x0,使得xn趋于x0,由于f连续,故f(x0)=limf(xn)=0

必须用中值定理吗？
我用反证法：
不妨设f(x)恒大于0
则在a<=x<=b上f(x)肯定有最值，当f(x)取最小值时，不存在f(y) <= 1/2 f(x)
同理设f(x)恒小于0，f(x)取最大值时不存在|f(y)|<= 1/2 |f(x)|
所以f(x)必须穿过x轴，即存在ξ使f(ξ)=0