请教这道线性代数题

解：
设λ为矩阵A的一个特征值，则存在非零向量x，使得
Ax=λx
上式两边同时左乘矩阵A，得AAx=A(λx)=λAx=(λ^2)x,即(A^2)x=(λ^2)x
∴λ^2是矩阵A^2的特征值，同理可得，λ^3是矩阵A^3的特征值
∴(A^3+5A^2+7A)x=(A^3)x+5(A^2)x+7Ax=(λ^3)x+5(λ^2)x+7λx
=(λ^3+5λ^2+7λ)x
即矩阵A^3+5A^2+7A的特征值为λ^3+5λ^2+7λ
∴分别将A的三个特征值1、2、-3代入，
可得矩阵A^3+5A^2+7A的三个特征值λ1=13,λ2=42,λ3=-3
∴det(A^3+5A^2+7A)=λ1*λ2*λ3=13*42*(-3)=-1638

ljfrank 完全正确

解:
由于矩阵A^3+5A^2+7A是由A线性变换得到，所以
Lamda(A^3+5A^2+7A)也是三个值，对应于A的特征值的线性变换。

L(1)=1^3+5*1^2+7*1=1+5+7=13
L(2)=2^3+5*2^2+7*2=8+20+14=42
L(3)=(-3)^3+5*(-3)^2+7(-3)=-27+45-21=-3

所以A'的特征值是13,42,-3
行列式=特征值的乘积=13*42*-3=-1638