不难的数学题50分 快的追加50分再

等边三角形ABC内的一点P到3个顶点的距离分别为PC=3,PA=4,PB=5,求边长

将整个三角形ABC图形以定点C旋转60度,使CB转到CA,三角形内P点转到P‘,A转到A‘
则P‘A‘=PA=4
P‘A=PB=5
P‘C=PC=3
连接PP‘
显然三角形PP‘C为等边三角形 （因为角PCP‘=60度,且PC=P‘C‘）
所以角P‘PC=60度 ------------(1)
所以PP‘=PC=3

在三角形APP‘中:
PP‘=3
PA=4
P‘A=5
所以三角形PP‘A为直角三角形,角PP‘A=90度
所以角APC=角PP‘A+角P‘PC=150度
在△PAC中,PC=3,PA=4,角APC=150度
根据余弦定理得：
cos角APC=（PA²+PC²-AC²）/(2*PA*PC)
AC²=PA²+PC²-（2*PA*PC)*cos角APC
=3²+4²-2*3*4*cos150度
=25+12根号3
边长=AC=√(12√3+25)

不好意思，看错题目了，重新回答。

假设等边三角形ABC的边长为a，取直角坐标系，顶点A为坐标原点(0,0)，AB边为X轴正方向，B点坐标为(a,0)，C点坐标为(a/2,sqrt(3)/2*a)。假设三角形内的一点P坐标为（x,y），它到A、B、C顶点的距离分别为3,4,5，那么有方程组
x^2+y^2=3^2,
(x-a)^2+y^2=4^2,
(x-a/2)^2+(y-sqrt(3)/2*a)^2=5^2,
求解此方程组，得到
a=sqrt(25+12*sqrt(3))，
同时
x = 3/193 * sqrt(25+12*sqrt(3)) *(3＋14*sqrt(3))≈2.866,
y = 6/193 * sqrt(25+12*sqrt(3)) *(25-12*